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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 x}Cs#}6,-  
W8)iIjoPO  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. QV(.@ [b1  
6sy "!(}  
　　1、三角函数本质： `32bDv8xj  
-4{o!F3,  
　　三角函数的本质来源于定义 vNu&~U2]t  
;<,s +58]/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 eLCl6HT[  
=~U )U>&e  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2R?-@  
^e@M N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -EjfwXX~  
L7a2e_P  
　　推导： YfEs   
*P/o?l~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +h5VPXJM$  
]jt,;u&Z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) `i*X6Hi  
MsdK#Y  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HeOa_ `~  
"r+Zba{tl  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0~ !lT ?  
O +UGw66n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?-< A  
3x:8e8g  
　　[1] d<@U5[  
5r72l9dn  
　　两角和公式 Ks^ e,gma  
!( 8.$ s  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB w}5!Is WT  
b<=Tne0,\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  tN~ rJ'  
-!j_j(S"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB OD9"aL<  
G9hZo.iY  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Z7LYzM]  
:E/MD=r(U  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) %oog2@<;(|  
2x(x+JmJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) LM=^ Um=  
CU=imv5e[  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (,*I.  
1c*w@"x  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7",rF}YJ{s  
x$Vh3   
倍角公式 va'{4_FP  
Co"T8  
　　Sin2A=2SinA•CosA lr_p2=w  
-PTi XQrA  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +8F"Hqg  
EK]i mpD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N* :/8w  
Y4\uDfa  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Enfkkmu4  
.a;k_i<:l  
三倍角公式 i1)_mhlR0  
'.[Ivh7B'M  
　　 x\Rg J%/B  
_v: ?T1h  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l6dOtYha  
:1$8WA1  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5wY&j:  
.SVj Zi`0R  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) |w6V~@  
1$0lh64o'  
三倍角公式推导 nlRtUP}_uz  
,bTlDO  
　　sin3a `4e))?g?rn  
o^ gr<-7  
　　=sin(2a+a) >`Cd QJ  
kk-C\uu\1  
　　=sin2acosa+cos2asina v7 DE2}  
[eLQ)(?&  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <tw+GKA*H0  
>w+1ipX>  
　　=3sina-4sin³a ULkd{c~1z  
D(.9!0I  
　　cos3a ax@I'g TZ  
q^7qv[(ml  
　　=cos(2a+a) 3?TF`y\r,  
gJxI_${P  
　　=cos2acosa-sin2asina sV~=uAG  
o\lJ B6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa d_ecbyQQ  
K=huf6  
　　=4cos³a-3cosa {guxo(Re  
`Qwuu$IB:  
　　sin3a=3sina-4sin³a qB/N h3  
(4&>n+  
　　=4sina(3/4-sin²a) X#}u=*\  
Yf)k&0;  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `')@!`vAo  
D-d7tbRgF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) I@-HP0mL  
+Cm"6hQS6/  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @ A9@3 C  
HV;oVmSj};  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @$F7oB  
?zbi8q db  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) #K3q<"  
ib/Wrd  
　　cos3a=4cos³a-3cosa R+lW >  
w+ dtE_2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) /{H0+rz$#  
(o~jN|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] `)rY80IHs  
Lz4VwXt0  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) {l _nlLQL  
3'>]@hR  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6o`o= ^8  
v=s%/b-Lg  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} g0,6EY?e`#  
Ah!;0~S]c  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) h1&S!2v .  
?ftIRD^!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n wpCA  
}rATt0=1s  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xlx?Jk_uE  
5uyH?!fR  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) YA9aqka  
!hRl {Sp  
　　上述两式相比可得 V :>K((W  
fp^";/>N+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4x>gZ`^TZ  
RT.0[-(  
半角公式 \{*U_5_[P|  
IyEeBe3]%  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BR 47Ug  
7(B;384*u  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]Zy 4WV  
|/eymFn5  
和差化积 +f)k3A(9}  
i *>LC;JW  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] L )3y'@  
R'oWu@f{  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'c\ZA  
?P*E/n#:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sveI{m~o4  
x)T_Nhbs  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i h|TE5^  
i5a`@6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) B 651 t^  
idB|E1   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7^R!UqUw  
W1 r `*'  
积化和差 "`"b*"+  
nSTN$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Ek0. nxkZ  
XP_.AEYE  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] z5fw(-+r  
k&^t9^ALW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _"G{Or.s?f  
@Qm? HDI  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Zo><"mF  
$=3x)lZ  
诱导公式 FQa=#Bt  
1z]niCLlX  
　　sin(-α) = -sinα KvOgXR~  
O"Q:D?['  
　　cos(-α) = cosα oN~1Hr)  
^ 8(E  
　　sin(π/2-α) = cosα {K~**$$h  
GS Z%cHd-  
　　cos(π/2-α) = sinα @i|k'?  
b+4 j6D  
　　sin(π/2+α) = cosα >o d+ Y>  
( 3TZ r  
　　cos(π/2+α) = -sinα yL28j  
*@ZSUg+gL  
　　sin(π-α) = sinα . %r(RW  
95zC=H ^R  
　　cos(π-α) = -cosα E WI0`y  
2 <@ YbWH  
　　sin(π+α) = -sinα }*;^QT  
LJ27j c  
　　cos(π+α) = -cosα JBdhr  
6AlpeHa0]O  
　　tanA= sinA/cosA w7[5c3h.  
3f U w  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Ag=:V%?  
4OKq^D*N\  
　　tan（π/2－α）＝cotα KQl#,;\  
czl#YxaZ  
　　tan（π－α）＝－tanα Vrx\7#ox  
&D#=Zb]Gf  
　　tan（π＋α）＝tanα !Y 9.6"*.  
Q41IEAh{  
万能公式 }e_QEaXno  
J9lI$)i@  
　　 g2DW 9X37  
"-7[ p)  
其它公式 {PimpVsJ  
(s3{kgie  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5pb/.aJ  
IrVA~K5s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 J/ IKp3Q>  
yUFKBh)+P  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 tdPm= F|>  
4jwfH@l^f  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 fq'Hp} C  
bp-\]}`  
　　对于任意非直角三角形,总有 XiZ) 1z  
q ]#Ps6i2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *7,'l0?  
t,tt }<  
　　证: :vFdjTw&  
)bSFI1F  
　　A+B=π-C {/nH"G%  
O'mj  
　　tan(A+B)=tan(π-C) sxu"MXT YS  
{eo7q%tp  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) MF"57}3  
bG(Ubl;  
　　整理可得 <9UhOQO&  
WCD|D|l$/Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC YKaD1 G1  
gaVp d,@  
　　得证 D}D7/4-X'  
m*j  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 qwB;HOI  
Z{fF)nj*n:  
其他非重点三角函数 2+F*]9S  
`_0 X<^  
　　csc(a) = 1/sin(a)  +D8'9#"  
Jj7+Qe)  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5_/yg@l~qv  
fc| Zim J  
　　 Lg. +  
w_6v%K_9yc  
双曲函数 sw%[:O /`  
a^z$*c\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 "3dKSi y  
l??(Vlf!Z  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 I*h ;rLW  
wr( dx  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 'vyV%)~  
ilnF4fe7@  
　　公式一： [B5;W#801  
:;A`G#a+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .&r+ ;a  
^  IJ[h  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Sy6& ]6  
'xLbSD  
　　cos（2kπ＋α）= cosα qqegA/&Q  
_ k&<Zu  
　　tan（kπ＋α）= tanα |6m jE :  
Zt<y$!3  
　　cot（kπ＋α）= cotα a3C207 c  
,9KcB/u  
　　公式二： \OLxWPx  
vd?Z]S +  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7JOu7a  
Wpv-go0|  
　　sin（π＋α）= -sinα uw<;`  
=Q5r W3M  
　　cos（π＋α）= -cosα (^n^B1vN]  
,Rj](3tO+  
　　tan（π＋α）= tanα $ _HQi&eNC  
0VMvm9NC  
　　cot（π＋α）= cotα Xd$S_1l  
\XG}15(  
　　公式三： WcZK 0s?  
g6L[O5~C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9[?K),O;  
XR n!UPKWz  
　　sin（-α）= -sinα F|@ r  
|A; 'R%  
　　cos（-α）= cosα 0D#CUZo x  
xM|X_N  
　　tan（-α）= -tanα g>Kf6m  
&ZS8-@TC  
　　cot（-α）= -cotα oT*h%4yp  
(( AyQ*R5  
　　公式四： 6R8C&(>bg  
\jm!3>MT  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： O3u@bH  
b'044 ~B  
　　sin（π-α）= sinα _l4jf7UJ  
 T`L#  
　　cos（π-α）= -cosα 3Pe(P02  
{r.<}^JI9  
　　tan（π-α）= -tanα U4`n%kXG  
sr&*_nN+  
　　cot（π-α）= -cotα '?drOs%gm  
{8-jpKxv|  
　　公式五： /2d"x2exT  
Ccnd7MG  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： BeX+P|W?}  
S5Ax>y/Z  
　　sin（2π-α）= -sinα ]e6(r  
'0mwjJW  
　　cos（2π-α）= cosα 1Y|v@o{EO  
" w)ZL}  
　　tan（2π-α）= -tanα 3s3ox#  
.K}7}$<C  
　　cot（2π-α）= -cotα li0v,o  
lYK46{t%  
　　公式六： 62AB\UwRG  
m[Jv%R  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： s2 X tbU-  
E X{ TOlN  
　　sin（π/2+α）= cosα  1p1~4~  
StI1^  
　　cos（π/2+α）= -sinα @,By'p$  
2OD!k)aoG  
　　tan（π/2+α）= -cotα (`eAxt   
9_1QcMXd6  
　　cot（π/2+α）= -tanα |zq:sV  
/_e erkN2m  
　　sin（π/2-α）= cosα dSRK-f?*y  
Q;$+`O5CA  
　　cos（π/2-α）= sinα Q<^n+qT  
Fuwhbd#C  
　　tan（π/2-α）= cotα g/je\'c  
M+RX9OQ@  
　　cot（π/2-α）= tanα &D~2c%xZ  
z=( @SCT{n  
　　sin（3π/2+α）= -cosα g\rFG}i  
E6S 7/P|U  
　　cos（3π/2+α）= sinα cE2@Y]=F  
>ib_  
　　tan（3π/2+α）= -cotα BtC;~  
C@O Mig5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Z;D9ep!  
6 [,2  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5}]J `gD  
w0k_62h+  
　　cos（3π/2-α）= -sinα m ?v^%Bm  
*s.oO}w  
　　tan（3π/2-α）= cotα Zvd)!NRFF  
0.}sMY  
　　cot（3π/2-α）= tanα b%(|i4diZ  
=Nkh1 SR  
　　(以上k∈Z) js8nJd  
5xOi>[ cI  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 T^.v(4  
<Mg'C{uf  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = R Vc{q$;  
ndUXJ^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *&{ ~g  
P9,B#[)RQ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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